【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且BD=BC,延長AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)若BC= ,AC=5,求圓的直徑AD及切線BE的長.
【答案】
(1)
證明:如圖,
連接OB,∵BD=BC,
∴∠CAB=∠BAD,
∵∠EBD=∠CAB,
∴∠BAD=∠EBD,
∵AD是⊙O的直徑,
∴∠ABD=90°,OA=BO,
∴∠BAD=∠ABO,
∴∠EBD=∠ABO,
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°,
∵點B在⊙O上,
∴BE是⊙O的切線,
(2)
解:如圖2,
設(shè)圓的半徑為R,連接CD,
∵AD為⊙O的直徑,
∴∠ACCD=90°,
∵BC=BD,
∴OB⊥CD,
∴OB∥AC,
∵OA=OD,
∴OF= AC= ,
∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠BDE=∠ACB,
∵∠DBE=∠ACB,
∴△DBE∽△CAB,
∴ ,
∴ ,
∴DE= ,
∵∠OBE=∠OFD=90°,
∴DF∥BE,
∴ ,
∴ ,
∵R>0,
∴R=3,
∵BE是⊙O的切線,
∴BE= = =
【解析】(1)先根據(jù)等弦所對的劣弧相等,再結(jié)合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD,最后用直徑所對的圓周角為直角即可;(2)利用三角形的中位線先求出OF,再用平行線分線段成比例定理求出半徑R,最后用切割線定理即可.此題是切線的判定,主要考查了圓周角的性質(zhì),切線的判定,平行線分線段成比例定理,相似三角形的判定和相似,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是作出輔助線.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個長方形運動場被分隔成、、、、共個區(qū), 區(qū)是邊長為的正方形, 區(qū)是邊長為的正方形.
(1)列式表示每個區(qū)長方形場地的周長,并將式子化簡;
(2)列式表示整個長方形運動場的周長,并將式子化簡;
(3)如果, ,求整個長方形運動場的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于D,能否在AB上確定一點E,使△BDE的周長等于AB的長?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正確的個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與坐標(biāo)軸分別交于A(﹣2,0),B(0,1)兩點,與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點C(4,n),求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把正整數(shù)1,2,3,4,…,2 009排列成如圖所示的一個表.
(1)用一正方形在表中隨意框住4個數(shù),把其中最小的數(shù)記為x,另三個數(shù)用含x的式子表示出來,從小到大依次是__ __,__ __,__ __;
(2)在(1)前提下,當(dāng)被框住的4個數(shù)之和等于416時,x的值是多少?
(3)在(1)前提下,被框住的4個數(shù)之和能否等于622?如果能,請求出此時x的值;如果不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,OB在x軸上,若OA=2,將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75°,則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為( 。
A.( ,﹣1)
B.(1,﹣ )
C.( ,﹣ )
D.(﹣ , )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,點E,O,F(xiàn)分別為AB,AC,AD的中點,連接CE,CF,OE,OF.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時,四邊形AEOF是正方形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】襄陽市文化底蘊深厚,旅游資源豐富,古隆中、習(xí)家池、鹿門寺三個景區(qū)是人們節(jié)假日玩的熱點景區(qū),張老師對八(1)班學(xué)生“五一”小長假隨父母到這三個景區(qū)游玩的計劃做了全面調(diào)查,調(diào)查分四個類別:A、游三個景區(qū);B、游兩個景區(qū);C、游一個景區(qū);D、不到這三個景區(qū)游玩.現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)八(1)班共有學(xué)生人,在扇形統(tǒng)計圖中,表示“B類別”的扇形的圓心角的度數(shù)為;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若張華、李剛兩名同學(xué),各自從三個景區(qū)中隨機選一個作為5月1日游玩的景區(qū),則他們同時選中古隆中的概率為 .
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