Question

【題目】如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)圖形為．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接，交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接．

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②若＝，請(qǐng)用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析，②＝，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．

（2）①根據(jù)要求圖形即可．

②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是：．取的中點(diǎn)，連接，，，首先證明四邊形是菱形，推出是的中位線，再根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．

解：

（1）證明：∵ 四邊形是矩形，

∴ 與相等且互相平分，

∴ ＝，

∵ 關(guān)于的對(duì)稱(chēng)圖形為，

∴ ＝，＝，

∴ ＝＝＝，

∴ 四邊形是菱形．

（2）①如圖．

②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是：＝．

證明：取的中點(diǎn)，連接，，，

∵ 四邊形是矩形∴ ＝

∵ ＝，

∴ ＝＝

∵ ＝，

∴ 是等邊三角形，

∴ ＝，

∵ 四邊形是菱形，

∴ ＝，＝＝，，

∴ 四邊形是菱形，

∴ ，

∴ ，即＝，

∵ 是的中位線，

∴ ，，

∴ ＝＝，

∵ 是的中點(diǎn)，

∴ ＝，

∴ ＝＝，

∴ ＝，

∴ ＝＝，

根據(jù)勾股定理得：＝，

即：＝，

∴ ＝．