Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，線段BC的端點(diǎn)分別在x軸與y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），且sin∠OCB=．

（1）若點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．

①求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示）

②若點(diǎn)P是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值；

（2）若點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿折線OBC運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)停止，⊙A隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)．

①點(diǎn)A從O→B的運(yùn)動(dòng)的過程中，若⊙A與直線BC相切，求t的值；

②在⊙A整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)⊙A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出t滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）①﹣m+8；②PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；（2）①t=時(shí)，⊙A與直線BC相切；②＜t≤5或7≤t≤15時(shí)，⊙A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)正切的概念求出BC=10，OC=8，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解得即可；

②作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時(shí)PQ最小，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；

（2）①根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

②結(jié)合圖形、運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系定理解答．

解：（1）①∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），tan∠OCB=，

∴BC=10，OC=8，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

，

解得，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣m+8；

②如圖1，作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時(shí)PQ最小，

×AB×OQ=×BO×CO，

解得，OQ=4.8，

∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；

（2）①如圖2，⊙A與直線BC相切于H，

則AH⊥BC，又∠BOC=90°，

∴△BHA∽△BOC，

∴=，即=，

解得，BA=，

則OA=6﹣=，

∴t=時(shí)，⊙A與直線BC相切；

②由（2）①得，t=時(shí)，⊙A與直線BC相切，

當(dāng)t=5時(shí)，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，

當(dāng)t=7時(shí)，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，

當(dāng)t=15時(shí)，⊙A經(jīng)過點(diǎn)C，

故＜t≤5或7≤t≤15時(shí)，⊙A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)．