Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點為P，其圖像與x軸有兩個交點A（﹣m，0），B（1，0），交y軸于點C（0，﹣3am+6a），以下說法：
①m=3；
②當∠APB=120°時，a= ；
③當∠APB=120°時，拋物線上存在點M（M與P不重合），使得△ABM是頂角為120°的等腰三角形；
④拋物線上存在點N，當△ABN為直角三角形時，有a≥
正確的是（ ）
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵點A（﹣m，0）、B（1，0）在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴ ，
由①﹣②得
am2﹣bm﹣a﹣b=0，
即（m+1）（am﹣a﹣b）=0．
∵A（﹣m，0）與B（1，0）不重合，
∴﹣m≠1即m+1≠0，
∴m= ，
∴點C的坐標為（0，3a﹣3b），
∵點C在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴c=3a﹣3b，
代入②得a+b+3a﹣3b=0，即b=2a，
∴m= =3，故①正確；
②∵m=3，∵A（﹣3，0），
∴拋物線的解析式可設為y=a（x+3）（x﹣1），
則y=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，
∴頂點P的坐標為（﹣1，﹣4a）．
根據(jù)對稱性可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°．
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，
則有PG⊥x軸，
∴PG=AGtan∠PAG=2× = ，
∴4a= ，
∴a= ，故②正確；
③在第一象限內(nèi)作∠MBA=120°，且滿足BM=BA，過點M作MH⊥x軸于H，如圖1，

在Rt△MHB中，∠MBH=60°，
則有MH=4sin60°=4× =2 ，BH=4cos60°=4× =2，
∴點M的坐標為（3，2 ），
當x=3時，y= （3+3）（3﹣1）=2 ，
∴點M在拋物線上，故③正確；
④∵點N在拋物線上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．
當△ABN為直角三角形時，∠ANB=90°，
此時點N在以AB為直徑的⊙G上，
因而點N在⊙G與拋物線的交點處，
要使點N存在，點P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2，

則有PG≥2，即4a≥2，也即a≥ ，故④正確．
故選D．
①把A、B兩點的坐標分別代入拋物線的解析式得到①式和②式，將兩式相減即可得到m= ，即可得到C（0，3a﹣3b），從而得到c=3a﹣3b，代入②式，就可解決問題；
②設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，則有PG⊥x軸，只需求出點P的坐標就可解決問題；
③在第一象限內(nèi)作∠MBA=120°，且滿足BM=BA，過點M作MH⊥x軸于H，如圖1，只需求出點M的坐標，然后驗證點M是否在拋物線上，就可解決問題；
④易知點N在拋物線上且△ABN為直角三角形時，只能∠ANB=90°，此時點N在以AB為直徑的⊙G上，因而點N在⊙G與拋物線的交點處，要使點N存在，點P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2，只需根據(jù)點與圓的位置關系就可解決問題．