Question

【題目】如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段BC與線段AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形為正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析，

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE=∠BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BD，于是得到結(jié)論；

（2）首先證明四邊形ACDF是矩形，再利用添加的條件：證明CA=CD即可解決問題；

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠BDE，

為的中點(diǎn)，

在△AEF與△BED中，

∴△AEF≌△BED，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四邊形ADBF是平行四邊形；

（2） 理由如下：

為的中點(diǎn)，

CD=DB，

AE=BE，

∴DE∥AC，

∴∠FDB=∠C=90°，

∵AF∥BC，

∴∠AFD=∠FDB=90°，

∴∠C=∠CDF=∠AFD=90°，

∴四邊形ACDF是矩形，

∵BC=2AC，CD=BD，

∴CA=CD，

∴四邊形ACDF是正方形．