Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，過E做EF⊥AD于F，連接BF交AE于P，連接PD．

（1）求證：四邊形ABEF是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，

∵EF⊥AD，

∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，

∴四邊形ABEF是矩形，

∵AE平分∠BAD，AF∥BE，

∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴四邊形ABEF是正方形；

（2）解：過點(diǎn)P作PH⊥AD于H，如圖所示：

∵四邊形ABEF是正方形，

∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，

∴AB∥PH，

∵AB=6，

∴AH=PH=3，

∵AD=8，

∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5，

在Rt△PHD中，∠PHD=90°．

∴tan∠ADP= = ．

【解析】（1）先根據(jù)有一角為直角的平行四邊形是矩形證四邊形ABEF是矩形，然后再證AB=BE，可得證；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥AD于H，根據(jù)四邊形ABEF是正方形和已知，易求出DH、PH的長，再在在Rt△PHD中，利用三角函數(shù)的定義可求得答案.