Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），延長PD至E，使DE=PD，連接EB、EC．

（1）求證；四邊形PBEC是平行四邊形；

（2）填空：

①當(dāng)AP的值為　 　時(shí)，四邊形PBEC是矩形；

②當(dāng)AP的值為　 　時(shí)，四邊形PBEC是菱形．

Answer 1

【答案】證明見解析；（2）①9；②12.5.

【解析】

（1）根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形證明即可；

（2）①若四邊形PBEC是矩形，則∠APC=90°，求得AP即可；

②若四邊形PBEC是菱形，則CP=PB，求得AP即可．

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD．

∵DE=PD，∴四邊形PBEC是平行四邊形；

（2）①當(dāng)∠APC=90°時(shí)，四邊形PBEC是矩形．

∵AC=15．sin∠A=，∴PC=12，由勾股定理得：AP=9，∴當(dāng)AP的值為9時(shí)，四邊形PBEC是矩形；

②在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=，所以設(shè)BC=4x，AB=5x，則（4x）2+152=（5x）2，解得：x=5，∴AB=5x=25．

當(dāng)PC=PB時(shí)，四邊形PBEC是菱形，此時(shí)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，所以AP=12.5，∴當(dāng)AP的值為12.5時(shí)，四邊形PBEC是菱形．