Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，DE⊥BD，交BC的延長線于點(diǎn)E，OD⊥DF，交BC邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，EG分別交BD、DF、DC于點(diǎn)M、N、H．

(1)求證：；

(2)設(shè)CD＝x，NE＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

(3)當(dāng)△DEF是以DE為腰的等腰三角形時，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)y＝x(0＜x＜2)；(3)CD的長為或．

【解析】

（1）只要證明△OBD∽△NED，即可解決問題．（2）由tan∠DBC＝＝，又因為＝，可得＝，由此即可解決問題．（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．

(1)如圖1中，

∵OD⊥DF，BD⊥DE，

∴∠ODF＝∠BDE＝90°，

∴∠ODB＝∠NDE，

∵EG⊥AB，

∴∠BGM＝∠MDE＝90°，

∵∠BMG＝∠EMD，

∴OBD＝∠DEN，

∴△OBD∽△NED，

∴＝．

(2)如圖1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90°，

∴tan∠DBC＝＝，

∵＝，

∴＝，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴OB＝OA＝2.5，

∴＝ ，

∴y＝x(0＜x＜2)．

(3)①如圖2﹣1中，當(dāng)DE＝DF時，作OK⊥AC于K．

∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90°，

∴∠ODK+∠KOD＝90°，∠ODK+∠CDF＝90°，

∴∠DOK＝∠CDF，

∴△OKD∽△DCF，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝x(2﹣x)，

∵DF＝DE，DC⊥EF，

∴∠CDE＝∠CDF，

∵∠CDE+∠CDB＝90°，∠CBD+∠CDB＝90°，

∴∠∠CDE＝∠CBD＝∠CDF，

∵∠DCF＝∠DCB＝90°，

∴△DCF∽△BCD，

∴＝，

∴CD2＝CFCB，

∴x2＝x(2﹣x)，

解得x＝或0(舍棄)

∴CD＝．

如圖2﹣2中，當(dāng)DE＝EF時，

∵ED＝EF，

∴∠EDF＝∠EFD，

∴∠EDC+∠CDF＝∠DBC+∠BDF，

∵∠EDC＝∠DBC，

∴∠CDF＝∠BDF，

∵∠CDF+∠ADO＝90°，∠BDF+∠BDO＝90°，

∴∠ADO＝∠BDO，

∵AO＝OB，易知DA＝DB，設(shè)DA＝DB＝4﹣x，

在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2+BC2，

∴(4﹣x)2＝x2+32，

∴x＝，

∴CD＝．

綜上所述，CD或．