Question

【題目】如圖，直線l上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，且OA=10cm，OB=5cm．

（1）若點(diǎn)C是線段 AB 的中點(diǎn)，求線段CO的長．

（2）若動(dòng)點(diǎn) P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為4cm/s，點(diǎn)Q的速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x 秒，

①當(dāng) x=__________秒時(shí)，PQ=1cm；

②若點(diǎn)M從點(diǎn)O以7cm/s的速度與P、Q兩點(diǎn)同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)m，使得4PM+3OQ﹣mOM為定值，若存在請(qǐng)求出m值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）若有兩條射線 OC、OD 均從射線OA同時(shí)繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)的速度為6度/秒，OD 旋轉(zhuǎn)的速度為2度/秒.當(dāng)OC與OD第一次重合時(shí)，OC、OD 同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，射線 OC⊥OD？

Answer 1

【答案】（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由見解析；（3）t=22.5和67.5

【解析】

（1）先求出線段AB的長，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義解答即可；

（2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可；

②先表示出PM、OQ、OM的長，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM為定值，則21-7m=0，解方程即可；

（3）分兩種情況討論，畫出圖形，根據(jù)圖形列出方程，解方程即可．

（1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm．

∵點(diǎn)C是線段 AB 的中點(diǎn)，∴AC=AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）．

（2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16．

②∵PM=10+7x-4x=10+3x，OQ=5+3x，OM=7x，∴4PM+3OQ﹣mOM=4（10+3x）+3（5+3x）-7mx=55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM為定值，則21-7m=0，解得：m=3，此時(shí)定值為55．

（3）分兩種情況討論：①如圖1，根據(jù)題意得：6t-2t=90，解得：t=22.5；

②如圖2，根據(jù)題意得：6t+90=360+2t，解得：t=67.5．

綜上所述：當(dāng)t=22.5秒和67.5秒時(shí)，射線 OC⊥OD．