Question

【題目】已知：如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足為E，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF，BF．

（1）AE的長(zhǎng)為 ，BE的長(zhǎng)為 ；

（2）如圖2，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′．

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)A′F′與AE垂直于點(diǎn)H，如圖3，設(shè)BA′所在直線交AD于點(diǎn)M，請(qǐng)求出DM的長(zhǎng)；

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q，是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為以PQ為底的等腰三角形？請(qǐng)直接寫出DQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）4；3；（2）①；②DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理求得BD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式求出AE的長(zhǎng)，再應(yīng)用勾股定理即可求得BE的長(zhǎng)．

（2）①先用tan∠ADB=，設(shè)出MG，表示出DG，DM，求出BG=BD-DG=-4x，再用tan∠MBD=，建立方程求出x，即可；

②分DP=DQ（考慮點(diǎn)Q在線段BD的延長(zhǎng)線和點(diǎn)Q在線段BD上兩種情況），PD=PQ兩種情況求解即可．

試題解析：（1）∵AB=5，AD=，

∴由勾股定理得BD=．

∵S△ABD=AB×AD=BD×AE，

∴×5×=××AE，

∴AE=4．

∴BE==3，

（2）①作MG⊥BD，A′N⊥BD，

∴tan∠ADB=，

設(shè)MG=3x，則DG=4x，DM=5x，

∴BG=BD-DG=-4x，

∵A′F′⊥AE，AE⊥BD，A′N⊥BD，A′F′⊥BF′，

∴四邊形BF′A′N是矩形，

∴A′N=BF′=3，BN=A′F′=AE=4，

∵tan∠MBD=，

∴，

∴x=，

∴DM=5x=；

②存在，理由如下：

Ⅰ、當(dāng)DP=DQ時(shí)，若點(diǎn)Q在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，

有∠Q=∠1，則∠2=∠1+∠Q=2∠Q．

∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，

∴∠4+∠Q=2∠Q．

∴∠4=∠Q．

∴A′Q=A′B=5．

∴F′Q=A′F′+A′Q=4+5=9．

在Rt△BF′Q中，81+9=（+DQ）2

∴DQ=3-或DQ=-3-（舍去）．

若點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，如圖2，

有∠QPD=∠PQD=∠BQA′，

∵∠DPQ=∠BMQ，

∴∠BMQ=∠BQM．

∵∠BMQ=∠A′BM+∠A′，∠A′=∠CBD，

∴∠BMQ=∠A′BM+∠CBD=∠A′BQ．

∴∠BQM=∠∠A′BQ．

∴A′Q=A′B=5．

∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．

∴BQ==

∴DQ=BD-BQ=-

Ⅱ、當(dāng)PD=PQ時(shí)，如圖4，

有∠ADB=∠DQP=∠BQA′，

∵∠ADB=∠A′，

∴∠BQA′=∠A′．

∴BQ=A′B=5．

∴DQ=BD-BQ=-5=

綜上所述，當(dāng)△DPQ為等腰三角形時(shí)，DQ的長(zhǎng)為DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=