Question

自變量為x的二次函數(shù)y=ax²+（6a-2）x+9a-7（a＞0）．
（1）若a=1，-4≤x≤3，求函數(shù)值y的最大值與最小值；并分別指出所對應的自變量x的值；
（2）當a變化時，該二次函數(shù)圖象是否經過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由；
（3）若該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點，而且兩交點的橫坐標均小于-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a值大于0，說明拋物線的開口向上；首先判斷拋物線的對稱軸是否在自變量的取值范圍內，若在，那么頂點的縱坐標即為y的最小值；此時距拋物線對稱軸最遠點的縱坐標就是y的最大值．若不在，只需判斷距拋物線對稱軸的遠近就能得出y的最大或最小值．可通過作圖來輔助理解．
（2）將涉及a的項整理到一起，提取a后將含a的式子設為0（只有這樣才能令a的值影響不到函數(shù)值），取得此時的自變量值后代入拋物線的解析式，即可判斷出該拋物線是否經過某個定點．
（3）已知拋物線的開口向上、且與x軸的兩個交點都在（-1，0）的左側，那么當x=-1時，函數(shù)值一定大于0，可根據(jù)這個特點來確定a的取值范圍．

解答：解：（1）y=x²+4x+2=（x+2）²-2
因為-4≤x≤3，開口向上，對稱軸x=-2
所以當x=-2時，有最小值-2，當 x=3時，有最大值23．

（2）將二次函數(shù)整理成y=a（x²+6x+9）-2x-7
令x²+6x+9=0?x=-3，將x=-3代入，則y=-1
經過驗證點（-3，-1）滿足函數(shù)表達式，所以該二次函數(shù)圖象經過一個定點，坐標為（-3，-1）．

（3）由（2）的結論，再由開口向上，可以知道該二次函數(shù)圖象必與x軸有兩個交點，
將x=-1代入表達式，得到相應的函數(shù)值為4a-5，要想兩交點的橫坐標均小于-1，只需要4a-5＞0
所以a＞

5

4

．

點評：該題的計算過程并不復雜，難在理出解題的思路；在解題時，要注意拋物線的開口方向（關鍵看二次項系數(shù)）、拋物線與坐標軸的交點等關鍵點，在解題時，一定要輔以圖形以便更好的找出便捷的解題方法．