Question

【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，8），點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）若反比例函數(shù)y= 圖象經(jīng)過P點(diǎn)、Q點(diǎn)，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到AB中點(diǎn)時(shí)，是否存在a使△OPQ為直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由；

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（10，0），C（0，8），點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，

∴P（t，8），Q（10，at），

∵反比例函數(shù)y= 圖象經(jīng)過P點(diǎn)、Q點(diǎn)，

∴8t=10at，解得a=

（2）

解：∵OQ垂直平分AP，

∴OP=OA，PQ=QA，

∴ =10，解得t=6，

∴Q（10，6a），P（6，8），

∵PQ=QA，

∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2=（6a）2，解得a=

（3）

解：如圖，

∵Q為AB的中點(diǎn)，

∴Q（10，4），P（t，8）．

當(dāng)∠OPQ=90°時(shí)，OP2+PQ2=OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42=102+42，整理得，t2﹣10t+32=0，

∵△=（﹣10）2﹣4×32=100﹣128=﹣28＜0，

∴此方程無解，即此種情況不存在；

當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，OQP2+PQ2=OP2，即102+42+（10﹣t）2+42=t2+82，整理得，﹣20t=﹣168，解得t= ，

∵AQ=4，

∴at=4，即 a=4，解得a= ．

【解析】（1）先用t表示出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)OQ垂直平分AP得出OP=OA，求出t的值，再由PQ=QA即可得出a的值；（3）分∠OPQ=90°與∠POQ=90°兩種情況進(jìn)行分類討論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．