Question

對于每個自然數(shù)n，拋物線y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n、B_n兩點，以|A_nB_n|表示該兩點間的距離，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|的值為（　　）

A． 2010 2011

B． 2012 2011

C． 2011 2010

D． 2011 2012

Answer 1

當n=1時，y=x²-

3

2

x+

1

2

，設(shè)y=x²-

3

2

x+

1

2

=0的兩根式a，b，
則a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

1

2

=1-

1

2

，
當n=2時，y=x²-

5

6

x+

1

6

，同法可求出：A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，
當n=3 時，y=x²-

7

12

x+

1

12

，同法可求出：A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，
…
當n=2011 時，y=x²-

4023

2011×2012

x+

1

2011

×

1

2012

，同法可求出：A₂₀₁₁B₂₀₁₁=

1

2011

×

1

2012

=

1

2011

-

1

2012

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|的值為1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

，
故選D．