Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，以AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，連接OC.

(1)直接寫出= ;

(2)請(qǐng)你過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于E點(diǎn)，試探究OB+OA與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)若點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為OC的中點(diǎn)，求MN的值；

(4)如圖2，將線段AB繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至BD，且OD⊥AD，延長(zhǎng)DO交直線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1） 4；（2）OB+OA=2CE；見解析；（3）MN=；（4）P（，）．

【解析】

(1)令x=0，求出y的值，令y=0，求出x的值，即可得出OA，OB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可求出結(jié)果；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，易證△CEB≌△CFA與四邊形CEOF是正方形，從而得AF=BE，CE=BE=OF，由OB=OE-BE，AO=OF+AF可得結(jié)論；

（3）求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可得出結(jié)論；

（4）先判斷出點(diǎn)B是AQ的中點(diǎn)，進(jìn)而求出Q的坐標(biāo)，即可求出DP的解析式，聯(lián)立成方程組求解即可得出結(jié)論．

（1）∵直線y=-x+2交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，

令x=0，則y=2，令y=0，則x=4,

∴BO=2，AO=4，

∴=；

（2）作CF⊥x軸于F，作CE⊥y軸于E，如圖，

∴∠BFC=∠AEC=90°

∵∠EOF=90°，

∴四邊形OECF是矩形，

∴CF=OE，CE=OF，∠ECF=90°，

∵∠ACB=90°

∴∠BCF=∠ACE，

∵BC=AC，

∴△CFB≌△CEA，

∴CF=CE，AF=BE，

∴四邊形OECF是正方形，

∴OE=OF=CE=CF，

∴OB=OE-BE，OA=OF+AF，

∴OB+OA=OE+OF=2CE；

（3）由（2）得CE=3，

∴OE=3，

∴OF=3，

∴C（3，3）；

∵M是線段AB的中點(diǎn)，而A（4，0），B（0，2），

∴M（2，1），

同理：N（，），

∴MN=；

（3）如圖②延長(zhǎng)AB，DP相交于Q，

由旋轉(zhuǎn)知，BD=AB，

∴∠BAD=∠BDA，

∵AD⊥DP，

∴∠ADP=90°，

∴∠BDA+∠BDQ=90°，∠BAD+∠AQD=90°，

∴∠AQD=∠BDQ，∴BD=BQ，

∴BQ=AB，

∴點(diǎn)B是AQ的中點(diǎn)，

∵A（4，0），B（0，2），

∴Q（-4，4），

∴直線DP的解析式為y=-x①，

∵直線DO交直線y=x+5②于P點(diǎn)，

聯(lián)立①②解得，x=-，y=，

∴P（-，）．