Question

已知關(guān)于x的一元二次方程 .（其中m為實數(shù)）

（1）若此方程的一個非零實數(shù)根為k，

① 當(dāng)k = m時，求m的值；

② 若記為y，求y與m的關(guān)系式；

（2）當(dāng)＜m＜2時，判斷此方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.

Answer 1

解：（1）∵ k為的實數(shù)根，

∴ .※

① 當(dāng)k = m時，

∵ k為非零實數(shù)根，

∴ m ≠ 0，方程※兩邊都除以m，得.

              整理，得 .

解得 ，.∵ 是關(guān)于x的一元二次方程，

∴ m ≠ 2.

∴ m= 1.（閱卷說明：寫對m= 1，但多出其他錯誤答案扣1分）

② ∵ k為原方程的非零實數(shù)根，

  ∴ 將方程※兩邊都除以k，得.

  整理，得 .

∴ .

（2）解法一： .

當(dāng)＜m＜2時，m＞0，＜0.

∴ ＞0，＞1＞0，Δ＞0.

∴ 當(dāng)＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

解法二：直接分析＜m＜2時，函數(shù)的圖象，

∵ 該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，

∴ 該拋物線必與x軸有兩個不同交點(diǎn).

∴ 當(dāng)＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

解法三：.

結(jié)合關(guān)于m的圖象可知，（如圖6）

當(dāng)＜m≤1時，＜≤4；

當(dāng)1＜m＜2時，1＜＜4.

∴ 當(dāng)＜m＜2時，＞0.

∴ 當(dāng)＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.