Question

如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，0）兩點，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點為M，若△OBM的面積為2．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥MP？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）在x軸上存在點P，點P的坐標(biāo)為（11，0）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，0）可得到關(guān)于b、k₁的方程組，進而可得到一次函數(shù)的解析式，設(shè)M（m，n）作MD⊥x軸于點D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線上即可求出k₂的值，進而求出其反比例函數(shù)的解析式；

（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出OP的值，進而可得出結(jié)論．

解：（1）∵直線y=k₁x+b過A（0，﹣2），B（1，0）兩點

∴，

∴

∴已知函數(shù)的表達式為y=2x﹣2．（3分）

∴設(shè)M（m，n），作MD⊥x軸于點D

∵S_△OBM=2，

∴，

∴

∴n=4（5分）

∴將M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，

∴m=3

∵M（3，4）在雙曲線上，

∴，

∴k₂=12

∴反比例函數(shù)的表達式為

（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，

∵MD⊥BP，

∴∠PMD=∠MBD=∠ABO

∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）

∴在Rt△PDM中，，

∴PD=2MD=8，

∴OP=OD+PD=11

∴在x軸上存在點P，使PM⊥AM，此時點P的坐標(biāo)為（11，0）（10分）

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及到的知識點為用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．