Question

（2010•廣陽區(qū)二模）如圖，拋物線y=-x²+2nx+n²-9（n為常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和x軸上的另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)在第一象限．
（1）確定該拋物線的解析式；
（2）寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在該函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P到x軸的距離為8，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將原點(diǎn)代入解析式，可求出n的值，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)在第一象限，可得出n的值，即可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸x=-

b

2a

，即可求出；然后，把x的值代入解析式即可求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（x，8）或（x，-8），代入解析式，求出x的值，即可解答；

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+2nx+n²-9（n為常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴可得，0=n²-9，解得n=±3，
又∵頂點(diǎn)在第一象限，
即x=-

2n

2×(-1)

＞0，得n＞0，
∴n=3，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+6x；

（2）拋物線的對(duì)稱軸為：x=-

2×3

2×(-1)

=3，
∴y=-9+18=9，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，9）；

（3）根據(jù)題意，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（x，8）或（x，-8），
∴8=-x²+6x或-8=-x²+6x，
整理得x²-6x+8=0或x²-6x-8=0，
解得x=2或x=4；x=3±

17

；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，8）或（4，8）或（3-

17

，-8）或（3+

17

，-8）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．