Question

【題目】在等邊△ABC中，點D在BC邊上（不與點B、點C重合），點E在AC的延長線上，DE=DA（如圖1）．

（1）求證：∠BAD=∠EDC；

（2）點E關于直線BC的對稱點為M，連接DM，AM．

①依題意將圖2補全；

②若點D在BC邊上運動，DA與AM始終相等嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

（1）因為DE=DA,,根據等邊對等角可得:∠E=∠DAC,由△ABC是等邊三角形,可得∠BAC=∠ACD=60°,即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°,進而可得:∠BAD=∠EDC,

（2）②證法1:由軸對稱可得,DM=DE,∠EDC=∠MDC,

由DE=DA,可得:DM=DA,由（1）可得,∠BAD=∠EDC,等量代換可得:∠MDC=∠BAD,

因為在△ABD中,∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°,可證得:∠MDC+∠ADB=120°,繼而可得:

∠ADM=180°﹣120°=60°,可得:△ADN是等邊三角形,所以AD=AM,

證法2:連接CM,由軸對稱可得,DM=DE,∠EDC=∠MDC,

由DE=DA,等量代換可得:DM=DA,由（1）可得,∠BAD=∠EDC,等量代換可得:

∠MDC=∠BAD,因為在△ABD中,∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°,

可得:∠MDC+∠ADB=120°,進而可得:∠ADM=180°﹣120°=60°,故△ADM中,∠DAM=（180°﹣60°）÷2=60°,根據∠BAC=60°,可得∠BAD=∠CAM,由軸對稱可得,∠DCE=∠DCM=120°,

又因為∠ACB=60°,所以∠ACM=120°﹣60°=60°,即∠B=∠ACM,

在△ABD和△ACM中,,可判定△ABD≌△ACM（ASA）,所以AD=AM．

（1）如圖1,

∵DE=DA,

∴∠E=∠DAC,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠BAC=∠ACD=60°,

即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°,

∴∠BAD=∠EDC,

（2）①補全圖形如圖2,

②證法1:由軸對稱可得,DM=DE,∠EDC=∠MDC,

∵DE=DA,

∴DM=DA,

由（1）可得,∠BAD=∠EDC,

∴∠MDC=∠BAD,

∵△ABD中,∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°,

∴∠MDC+∠ADB=120°,

∴∠ADM=180°﹣120°=60°,

∴△ADN是等邊三角形,

∴AD=AM,

證法2:連接CM,

由軸對稱可得,DM=DE,∠EDC=∠MDC,

∵DE=DA,

∴DM=DA,

由（1）可得,∠BAD=∠EDC,

∴∠MDC=∠BAD,

∵△ABD中,∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°,

∴∠MDC+∠ADB=120°,

∴∠ADM=180°﹣120°=60°,

∴△ADM中,∠DAM=（180°﹣60°）÷2=60°,

又∵∠BAC=60°,

∴∠BAD=∠CAM,

由軸對稱可得,∠DCE=∠DCM=120°,

又∵∠ACB=60°,

∴∠ACM=120°﹣60°=60°,

∴∠B=∠ACM,

在△ABD和△ACM中,

,

∴△ABD≌△ACM（ASA）,

∴AD=AM．