Question

【題目】如果a：b＝b：c，即b2＝ac，則b叫a和c的比例中項(xiàng)，或等比中項(xiàng)．若一個(gè)三角形一條邊是另兩條邊的等比中項(xiàng)，我們把這個(gè)三角形叫做等比三角形．

（1）已知△ABC是等比三角形，AB＝2，BC＝3．請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長(zhǎng)；

（2）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC，求證：△ABC是等比三角形；

（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)∠ADC＝90時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝或或時(shí)，△ABC是比例三角形；（2）見解析；（3） ．

【解析】

（1）根據(jù)題目中定義的等比三角形求解即可，應(yīng)分三種情況討論；

（2）根據(jù)題意可先證明△ABC∽△DCA，從而可得CA2＝BCAD，再根據(jù)已知條件證明AB＝AD，從而可證明CA2＝BCAB，繼而△ABC是等比三角形得證；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)可得BH＝BD，根據(jù)題意可證△ABH∽△DBC，從而可得ABBC＝BD2，由（2）的結(jié)論可得BD2＝AC2，進(jìn)而可求的值.

解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，

①當(dāng)AB2＝BCAC時(shí)，得：4＝3AC，解得：AC＝；

②當(dāng)BC2＝ABAC時(shí)，得：9＝2AC，解得：AC＝；

③當(dāng)AC2＝ABBC時(shí)，得：AC2＝6，解得：AC＝（負(fù)值舍去）；

所以當(dāng)AC＝或或時(shí)，△ABC是等比三角形；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

又∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，即CA2＝BCAD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AB＝AD，

∴CA2＝BCAB，

∴△ABC是等比三角形；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，

∵AB＝AD，

∴BH＝BD，

∵AD∥BC，∠ADC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BHA＝∠BCD＝90°，

又∵∠ABH＝∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴，即ABBC＝BHDB，

∴ABBC＝BD2，

又∵ABBC＝AC2，

∴BD2＝AC2，

∴＝ ．