Question

如圖所示，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函數(shù)y=

9

x

（x＞0）的圖象上，△OP₁A₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n…都是等腰直角三角形，斜邊OA₁，A₁A₂…A_n-1A_n，都在x軸上，則y₁+y₂+…y_n=

 

．

Answer 1

分析：由于△OP₁A₁是等腰直角三角形，過點P₁作P₁M⊥x軸，則P₁M=OM=MA₁，所以可設(shè)P₁的坐標(biāo)是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a=3，從而求出A₁的坐標(biāo)是（6，0），再根據(jù)△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，設(shè)P₂的縱坐標(biāo)是b，則P₂的橫坐標(biāo)是6+b，把（6+b，b）代入函數(shù)解析式得到b=

9

6+b

，解得b=3

2

-3，則A₂的橫坐標(biāo)是6

2

，同理可以得到A₃的橫坐標(biāo)是6

3

，A_n的橫坐標(biāo)是6

n

，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到y(tǒng)₁+y₂+…y_n等于An點橫坐標(biāo)的一半，因而值是3

n

．

解答：解：如圖，過點P₁作P₁M⊥x軸，
∵△OP₁A₁是等腰直角三角形，
∴P₁M=OM=MA₁，
設(shè)P₁的坐標(biāo)是（a，a），
把（a，a）代入解析式y(tǒng)=

9

x

（x＞0）中，得a=3，
∴A₁的坐標(biāo)是（6，0），
又∵△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，
設(shè)P₂的縱坐標(biāo)是b，則P₂的橫坐標(biāo)是6+b，
把（6+b，b）代入函數(shù)解析式得b=

9

6+b

，
解得b=3

2

-3，
∴A₂的橫坐標(biāo)是6+2b=6+6

2

-6=6

2

，
同理可以得到A₃的橫坐標(biāo)是6

3

，
A_n的橫坐標(biāo)是6

n

，
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到y(tǒng)₁+y₂+…y_n等于A_n點橫坐標(biāo)的一半，
∴y₁+y₂+…y_n=3

n

．
故答案為：3

n

．

點評：本題是等腰直角三角形與反比例函數(shù)相結(jié)合的題目，關(guān)鍵是要分析出其圖象特點，再結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)作答．