Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．

①寫出點M′的坐標；

②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S=-m2+m，最大值為；（3）①（，），②45°.

【解析】

（1）令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）當y=0時，0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=3x+3，

∴x=1，

∴A的坐標為(1,0)，

由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），

S=S四邊形OAMBS△AOB=S△OBM+S△OAMS△AOB=×m×3+×1×(﹣m2+2m+3)×1×3= (m)2+

∴當m=時,S取得最大值.

（3）①由（2）可知：M′的坐標為（，）；

②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F根據(jù)題意知：d1+d2=BF，

∵∠BFM′=90°，

∴點F在以BM′為直徑的圓上，設直線AM′與該圓相交于點H，

∵點C在線段BM′上，

∴F在優(yōu)弧BM′H上，

∴當F與M′重合時，BF可取得最大值，此時BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（，），

∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，

過點M′作M′G⊥AB于點G，設BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴﹣（﹣x）2=﹣x2，

∴x=，

cos∠M′BG=，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，∠BAC=45°.