Question

【題目】在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A（1，-1），B（3，-1），動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以3個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)．過P作PQ⊥OA于Q．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0 < t < ），ΔOPQ與四邊形OABC重疊的面積為S．

（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）將ΔOPQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點(diǎn)O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）求S與t的函數(shù)解析式；

Answer 1

【答案】（1）；頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，）；（2）P（3t，0），Q（ ）；（3）存在，或；（4）

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，然后將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入即可求出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于N，證出△OAH為等腰直角三角形，∠AOH=45°，然后由題意易知OP=3t，△OPQ為等腰直角三角形，根據(jù)三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出結(jié)論；

（3）將△OPQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△O′PQ′，如下圖所示，過點(diǎn)Q′作Q′K⊥x軸于K，根據(jù)題意即可求出O′的坐標(biāo)，然后利用銳角三角函數(shù)即可求出Q′的坐標(biāo)，然后根據(jù)O′在拋物線或Q′在拋物線分類討論，代入解析式即可求出結(jié)論；

（4）根據(jù)t的取值分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)三角形的面積、梯形的面積計(jì)算即可．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為

將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴拋物線的解析式為

∵

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，）；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于N

∵點(diǎn)A（1，-1）

∴AH=OH=1，

∴△OAH為等腰直角三角形，∠AOH=45°

∵動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以3個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，PQ⊥OA

∴OP=3t，△OPQ為等腰直角三角形

∴QN=ON=OP=

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；

（3）將△OPQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△O′PQ′，如下圖所示，過點(diǎn)Q′作Q′K⊥x軸于K

由題意可知：∠OPO′=∠QPQ′=90°，O′P=OP=3t，PQ′=PQ=OP·sin∠POQ=

∴∠Q′PK=180°－∠OPQ－∠QPQ′=45°，點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（3t，-3t）

∴PK=Q′K= PQ′·sin∠Q′PK=

∴OK=OP＋PK=

∴點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為（，）

當(dāng)點(diǎn)O′在拋物線上時(shí)，則

解得：（不符合題意，舍去）；

當(dāng)點(diǎn)Q′在拋物線上時(shí)，則

解得：（不符合題意，舍去）；

綜上：當(dāng)t=或時(shí)，△OPQ的頂點(diǎn)O或Q落在拋物線上

（4）由（3）知OP=3t，OQ=PQ=

根據(jù)勾股定理可得OA=

∴當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，，解得：t=；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)3t=3，解得：t=1；

當(dāng)0＜t≤時(shí)，如下圖所示

S=OQ·PQ=××=；

當(dāng)＜t≤1時(shí)，如下圖所示

∵AB∥OC

∴∠QAE=∠POQ=45°

易知EQ=AQ=OQ－OA=－

∴S=S△OPQ－S△AEQ

=OQ·PQ－AQ·EQ

=××－（－）（－）

=3t－1；

當(dāng)1＜t＜時(shí)，如下圖所示，PQ分別與AB、BC交于點(diǎn)E、F

易知：OC=3，AB=3－1=2，BC=1，PC=3t－3，△PCF和△BEF為等腰直角三角形

∴CF=PC=3t－3，

∴BE=BF=BC－CF=4－3t

∴S=S梯形OABC－S△BEF

=BC（AB＋OC）－BE·BF

=×1×（2＋3）－（4－3t）（4－3t）

=

綜上：