Question

（2012•浙江一模）如圖1，在平面上，給定了半徑為r的⊙O，對(duì)于任意點(diǎn)P，在射線OP上取一點(diǎn)P′，使得OP•OP′=r²，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫做反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn)，⊙O稱為基圓．
（1）如圖2，⊙O內(nèi)有不同的兩點(diǎn)A、B，它們的反演點(diǎn)分別是A′、B′，則與∠A′一定相等的角是

（C）

（A）∠O         （B）∠OAB        （C）∠OBA           （D）∠B′
（2）如圖3，⊙O內(nèi)有一點(diǎn)M，請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫出點(diǎn)M的反演點(diǎn)M′；（保留畫圖痕跡，不必寫畫法）．
（3）如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形．已知基圓O的半徑為r，另一個(gè)半徑為r₁的⊙C，作射線OC交⊙C于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)分別是A′、B′，點(diǎn)M為⊙C上另一點(diǎn)，關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)為M′．求證：∠A′M′B′=90°．

Answer 1

分析：（1）先證明△AOB∽△B′OA′，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可以推知∠A′=∠OBA；
（2）根據(jù)射影定理來(lái)找點(diǎn)M′；
（3）根據(jù)相似三角形△OMA∽△OA′M′的對(duì)應(yīng)角相等推知∠OMA=∠OB′M′、根據(jù)相似三角形△OBM∽△OM′B′的對(duì)應(yīng)角相等推知∠OMB=∠OM′B′，則∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′，∠BMA=∠A′M′B′，即∠A′M′B′=90°．

解答：解：（1）∵⊙O內(nèi)有不同的兩點(diǎn)A、B，它們的反演點(diǎn)分別是A′、B′，
∴

OA

OB′

=

OB

OA′

；
又∵∠O=∠O，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠A′=∠OBA；
故答案是：（C）；

（2）過(guò)M作MN⊥OM交⊙O于點(diǎn)N，連ON．過(guò)N作NM'⊥ON交射線OM于點(diǎn)M'．點(diǎn)M'即為所求．如圖所示：


（3）證明：連BM、AM．
∵AB是⊙C直徑，
∴∠BMA=90°；
∵∠OA′M′是△A′M′B′的外角，
∴∠OA′M′-∠A′B′M′=∠A′M′B′；
∵點(diǎn)A、M關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)分別是A′，M′．
∴OA•OA′=r²=OM•OM′，
∵∠O=∠O，
∴△OMA∽△OA′M′，
∴∠OMA=∠OA′M′，
同理：∠OMB=∠OB′M′，
由等式性質(zhì)知：∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′，
∴∠BMA=∠A′M′B′即∠A′M′B′=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．解題時(shí)涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等式的性質(zhì)等．