Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線為．

①求拋物線的解析式．

②點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，△PBE的面積最大并求出最大值．

③過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N（不與點(diǎn)B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q．若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】①；②當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；③點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：4或或．

【解析】

①點(diǎn)B、C在直線為上，則B（﹣n，0）、C（0，n），點(diǎn)A（1，0）在拋物線上，所以，解得，，因此拋物線解析式：；

②先求出點(diǎn)P到BC的高h(yuǎn)為，于是，當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；

③由①知，BC所在直線為：，所以點(diǎn)A到直線BC的距離，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)H．設(shè)，則、，易證△PQN為等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．

解：①∵點(diǎn)B、C在直線為上，

∴B（﹣n，0）、C（0，n），

∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線上，

∴，

∴，，

∴拋物線解析式：；

②由題意，得，

，，

由①知，，

∴點(diǎn)P到BC的高h(yuǎn)為，

∴，

當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；

③由①知，BC所在直線為：，

∴點(diǎn)A到直線BC的距離，

過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)H．

設(shè)，則、，

易證△PQN為等腰直角三角形，即，

∴，

Ⅰ．，

∴

解得，，

∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴；

Ⅱ．，

∴

解得，，

∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

，

∴，

Ⅲ．，

∴，

解得，，

∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

，

∴，

綜上所述，若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：4或或．