Question

已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊），點(diǎn)C為拋物線上一個動點(diǎn)，直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別相交于D，E兩點(diǎn)，在x軸上的點(diǎn)P，使得△DEP為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：若△DEP為等腰直角三角形，應(yīng)分情況進(jìn)行討論，需注意應(yīng)符合兩個條件：等腰，有直角．
解答：解：令=0，解得：x=-1或x=3，
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為F（0，m）．
①當(dāng)DE為腰時，分別過點(diǎn)D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖，
則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴=，即=．
解得m=．
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是，
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴2x+2=．，解得x=-，
∴D（-，）．
∴P₁（-，0），同理可求P₂（1，0）．

②當(dāng)DE為底邊時，
過DE的中點(diǎn)G作GP₃⊥x軸于點(diǎn)P₃，如圖，
則DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得=，即=，
解得m=1．
同1方法．求得D（-，1），E（，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=，
∴P₃（，0）
結(jié)合圖形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（，0）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有3個，即P₁（-，0），P₂（1，0），P₃（，0）．
故答案為：P₁（-，0），P₂（1，0），P₃（，0）．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)較為全面：解一元二次方程，相似的應(yīng)用以及勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，需耐心分析，加以應(yīng)用．