(2006•泉州)如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(4,12)為雙曲線(x>0)上的一點(diǎn).
(1)求k的值;
(2)過雙曲線上的點(diǎn)P作PB⊥x軸于B,連接OP,若Rt△OPB兩直角邊的比值為,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)分別過雙曲線上的兩點(diǎn)P1、P2,作P1B1⊥x軸于B1,P2B2⊥x軸于B2,連接OP1、OP2.設(shè)Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周長(zhǎng)分別為l1、l2,內(nèi)切圓的半徑分別為r1、r2,若,試求的值.

【答案】分析:(1)直接把A的坐標(biāo)代入解析式中就可以確定k的值;
(2)設(shè)P(m,n),根據(jù)函數(shù)解析式和Rt△OPB兩直角邊的比值可以列出方程,解方程可以求出m,n,也就求出了點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)最下圖此題首先應(yīng)該知道一個(gè)結(jié)論:(a+b+c)•r=ab,利用這個(gè)結(jié)論可以得到,這樣就可以求出的值了.
解答:解:(1)將A(4,12)代入雙曲線中,得12=,則k=48;(3分)

(2)由(1)得雙曲線解析式為,(4分)
設(shè)P(m,n),∴,即mn=48,(5分)
當(dāng)時(shí),即,可設(shè)m=z,n=4z,
∴z•4z=48,解得,
,,
∴P(,),(7分)
當(dāng)時(shí),同理可求得P(,);(8分)

(3)在Rt△OP1B1中,設(shè)OB1=a1,P1B1=b1,OP1=c1,
則P1(a1,b1),由(2)得a1b1=48,
在Rt△OP2B2中,設(shè)OB2=a2,P2B2=b2,OP2=c2
則P2(a2,b2),由(2)得a2b2=48,
(10分)
∴(a1+b1+c1)•r1=(a2+b2+c2)•r2(11分)
即l1•r1=l2•r2,故(12分)
又∵=2,∴=2,即得:=.(13分)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題,也利用了三角形的內(nèi)切圓的知識(shí),有一定綜合性.
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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
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