14.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,若∠BAC<90°,作EA⊥AC,F(xiàn)A⊥BA,且AE=AC,AF=AB.連接EF,寫出AD與EF的數(shù)量關(guān)系,并證明.

分析 首先延長(zhǎng)AD到G,使得DG=AD,連接BG,易證得△ACD≌△GBD(SAS),則可得∠DBG=∠C,BG=AC,又由EA⊥AC,F(xiàn)A⊥BA,且AE=AC,AF=AB,可證得∠EAF=∠ABG,AE=BG,繼而證得△AEF≌△BGA(SAS),則可證得結(jié)論.

解答 解:EF=2AD.
理由:延長(zhǎng)AD到G,使得DG=AD,連接BG,
∵AD為BC邊上的中線,
∴BD=CD,
在△ACD和△GBD中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=GD}\\{∠ADC=∠GDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$,
∴△ACD≌△GBD(SAS),
∴∠DBG=∠C,BG=AC,
∵EA⊥AC,F(xiàn)A⊥BA,
∴∠EAC=∠FAB=90°,
∴∠EAF=∠EAC+∠FAB-∠BAC=180°-∠BAC,
∵∠ABG=∠ABC+∠GBC=∠ABC+∠C=180°-∠BAC,
∴∠EAF=∠ABG,
∵AE=AC,AF=AB,
∴AE=BG,
在△AEF和△BGA中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BG}\\{∠EAF=∠GBA}\\{AF=AB}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△BGA(SAS),
∴EF=AG=2AD.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2.先化簡(jiǎn),再求值:
已知x=1,y=2,求代數(shù)式x-2($\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}{y}^{2}$)+(-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}{y}^{2}$)的值.

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3.若mn=-14,n-m=-9,則m2n-mn2的值為-126.

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2.已知二次函數(shù)y=ax2-3ax-4a的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸正半軸交于點(diǎn)C(如圖1),$tan∠ACO=\frac{1}{2}$.

(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)P(-3,0)為x軸上一點(diǎn),在拋物線第一象限的圖象上是否存在一點(diǎn)Q,連PQ交AC于點(diǎn)D,使得∠PDA=45°?(如圖2)若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)將拋物線作適當(dāng)平移,使新拋物線的頂點(diǎn)D在射線AC上,且新拋物線與直線BC交于點(diǎn)M、N,(如圖3)問是否存在這樣的拋物線,使得$\frac{{{S_{△DMC}}}}{{{S_{△DNC}}}}=\frac{1}{4}$?若存在,請(qǐng)求新拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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9.學(xué)了三角形全等的知識(shí)后,老師提出了一個(gè)問題.如圖所示,點(diǎn)E、F在線段BD上,線段AC與BD互相平分,且BE=DF.那么△AOE和△COF全等嗎?△AOB和△COD全等嗎?請(qǐng)說明理由.
(1)請(qǐng)你解決老師提出的問題;
(2)請(qǐng)猜想AB與CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由.

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19.如圖,AB∥CD,AB=CD,∠A=∠C.你能得到哪些有關(guān)角、邊的結(jié)論?△ABF與△CDE全等嗎?

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6.如圖,已知A(-2,0),B(0,-4),C(1,1),點(diǎn)P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)O),CD⊥CP交x軸于點(diǎn)D,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí):
(1)求證:∠CPO=∠CDO;
(2)求證:CP=CD;
(3)下列兩個(gè)結(jié)論:①AD-BP的值不變;②AD+BP的值不變,選擇正確的結(jié)論求其值.

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3.已知(m-1)x|m|=8是一元一次方程,那么m=-1.

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4.若點(diǎn)A(-1,m)和B(-2,n)在二次函數(shù)y=-x2+20圖象上,則m>n(填大小關(guān)系).

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