如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BF⊥AD,AD的延長線交BF于E,且E為垂足,則結(jié)論①AD=BF,②CF=CD,③AC+CD=AB,④BE=CF,⑤BF=2BE,其中正確的結(jié)論的個數(shù)是( )

A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】分析:①根據(jù)BC=AC,∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°,再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°,在Rt△ACD與Rt△BFC中,∠EAF+∠F=90°,∠FBC+∠F=90°,可求出∠EAF=∠FBC,由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC,故可求出AD=BF;
②由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可直接得出結(jié)論;
③由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可知,CF=CD,故AC+CD=AC+CF=AF,∠CBF=∠EAF=22.5°,在Rt△AEF中,∠F=90°-∠EAF=67.5°,根據(jù)∠CAB=45°可知,∠ABF=180°-∠EAF-∠CAB=67.5°,即可求出AF=AB,即AC+CD=AB;
④由③可知,△ABF是等腰三角形,由于BE⊥AD,故BE=BF,在Rt△BCF中,若BE=CF,則∠CBF=30°,與②中∠CBF=22.5°相矛盾,故BE≠CF;
⑤由③可知,△ABF是等腰三角形,由于BE⊥AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解答.
解答:解:①∵BC=AC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠ABC=45°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠EAF=22.5°,
∵在Rt△ACD與Rt△BFC中,∠EAF+∠F=90°,∠FBC+∠F=90°,
∴∠EAF=∠FBC,
∵BC=AC,∠EAF=∠FBC,∠BCF=∠AEF,
∴Rt△ADC≌Rt△BFC,
∴AD=BF;
故①正確;
②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC,
∴CF=CD,
故②正確;
③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC,
∴CF=CD,AC+CD=AC+CF=AF,
∵∠CBF=∠EAF=22.5°,
∴在Rt△AEF中,∠F=90°-∠EAF=67.5°,
∵∠CAB=45°,
∴∠ABF=180°-∠F-∠CAB=180°-67.5°-45°=67.5°,
∴AF=AB,即AC+CD=AB,
故③正確;
④由③可知,△ABF是等腰三角形,
∵BE⊥AD,
∴BE=BF,
∵在Rt△BCF中,若BE=CF,則∠CBF=30°,與②中∠CBF=22.5°相矛盾,
故BE≠CF,
故④錯誤;
⑤由③可知,△ABF是等腰三角形,
∵BE⊥AD,
∴BF=2BE,
故⑤正確.
所以①②③⑤四項正確.
故選A.
點評:本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì),熟知線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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75
度.

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精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜邊的中點,向斜邊作垂線,畫出一個新的等腰三角形,如此繼續(xù)下去,直到所畫出的直角三角形的斜邊與△ABC的BC重疊,這時這個三角形的斜邊為
( �。�
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( �。�

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16
cm.

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