Question

已知：如圖，正方形ABCD中，點E是BA延長線上一點，連接DE，點F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于點H，連接BH.

（1）若DG=2，求DH的長；

（2）求證：BH+DH=CH.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）證明DM＝BH，DM+DH=CH所以BH+DH=CH

【解析】

試題分析：（1）∵DG⊥CF且DF＝CD

∴∠FDG=∠FDC 

∵DH平分∠ADE

∴∠FDH=∠ADF  2分

∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=∠FDC-∠ADF

=（∠FDC-∠ADF）=∠ADC=45° 

∴△DGH為等腰直角三角形

∵DG=2，

∴DH＝  .

（2）過點C作CM⊥CH, 交HD延長線于點M

∵∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=90⁰

∴∠1=∠2

又△DGH為等腰直角三角形

∴△MCH為等腰直角三角形

∴MC=HC

又∵四邊形ABCD為正方形

∴CD＝CB

∴△MCD≌△HCB       

∴DM＝BH

又∵△MCH為等腰直角三角形

∴DM+DH=CH

∴BH+DH=CH    

考點：角平分線，全等三角形

點評：本題考查角平分線，全等三角形，解本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，熟悉全等三角形的判定方法，會證明三角形全等