Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣4ax﹣交x軸正半軸于點(diǎn)A（5，0），交y軸于點(diǎn)B．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接AP，將射線(xiàn)AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與過(guò)點(diǎn)P且垂直于AP的直線(xiàn)交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出t的取值范圍）；

（3）如圖2，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D，在x軸上取點(diǎn)F，連接FP，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接ED，若F的橫坐標(biāo)為-，∠AFP＝∠CDE，且∠FAP+∠ACD＝180°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣（2）m＝t2+t+3（3）-

【解析】

（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入即能求a的值．
（2）由AP⊥PC和旋轉(zhuǎn)60°得∠PAC=60°得到特殊Rt△APC．利用已知點(diǎn)P、C的橫坐標(biāo)的條件，分別過(guò)點(diǎn)C、點(diǎn)P作坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，構(gòu)造三垂直模型下的相似，且相似比即為PC與AP的比．用t、m表示相似三角形對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度，利用相似比為列方程，即得到m與t的關(guān)系式．
（3）由特殊Rt△APC中∠ACP=30°與點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)的條件得到CE=AE=AP；構(gòu)造PQ=AP（Q在x軸上）得∠PAQ=∠PQA，再由∠FAP+∠ACD=180°和∠FAP鄰補(bǔ)角為∠PAN得到∠ACD=∠PAN，即得到∠ACD=∠PAQ=∠PQA，因此構(gòu)造的△QFP與△CDE全等，得到QF=CD．由四邊形APCD內(nèi)角和為360°可求得∠CDF=60°，作CH⊥x軸構(gòu)造特殊直角三角形，利用CH=MN即可以t的式子表示CH，進(jìn)而用t表示CD．又易由t的式子表示QF，列方程即求得t的值．再代回（2）的式子即求出m的值．

（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2﹣4ax﹣過(guò)點(diǎn)A（5，0），

∴25a﹣20a﹣＝0，

解得：a＝，

∴拋物線(xiàn)的解析式為；

（2）過(guò)點(diǎn)P作MN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥MN于點(diǎn)M，

∴∠M＝∠ANP＝90°，

∴∠MCP+∠CPM＝90°.

∵CP⊥AP，

∴∠APC＝90°，

∴∠CPM+∠APN＝90°，

∴∠MCP＝∠APN，

∴△MCP∽△NPA，

∴，

∵∠APC＝90°，∠PAC＝60°，

∴∠ACP＝30°，tan∠PAC＝，

∴，即.

∵xP＝t，xC＝m，

∴MC＝t﹣m，PN＝yP＝，

∴t﹣m＝，

整理得：m＝，

（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，在x軸上取點(diǎn)Q，連接PQ且使PQ＝AQ，

∴∠CHD＝90°，∠PAN＝∠PQN，

∵∠ACP＝30°，∠APC＝90°，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，

∴AP＝AC＝CE＝AE，

∴CE＝PQ，

∵∠FAP+∠ACD＝180°，∠FAP+∠PAN＝180°，

∴∠ACD＝∠PAN，

∴∠ACD＝∠PQN，

在△CDE與△QFP中

，

∴△CDE≌△QFP（AAS），

∴CD＝QF，

由（1）得，AN＝t﹣5，PM＝，PN＝，

∴CH＝MN＝PM+PN＝＝.

∵∠CDH＝360°﹣∠CDP﹣∠APC﹣∠FAP＝360°﹣（∠ACD+∠FAP）﹣∠ACP﹣∠APC＝360°﹣180°﹣30°﹣90°＝60°，

∴sin∠CDH＝，

∴CD＝＝，

∵F（﹣，0），

∴QF＝AF+AQ＝AF+2AN＝5﹣（﹣）+2（t﹣5）＝2t﹣，

∴，

解得：t1＝﹣3，t2＝7，

∵點(diǎn)P在第一象限，t＞5，

∴t＝7，

∴m＝.