Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，直線與拋物線交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是線段上的一動點(diǎn)（不與，重合），過點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，若，線段是否存在最大值？若存在，請求出最大值，若不存在，請說明理由；

（3）若軸上存在一點(diǎn)，使得時，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，有最大值為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）確定拋物線解析式，關(guān)鍵是要確定拋物線經(jīng)過的兩點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)是拋物線與軸的交點(diǎn)，且位于軸上，因此易求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，可求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后再將坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式即可得解；

（2）求出拋物線解析式后，利用，先求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后求出直線的解析式，最后再利用兩函數(shù)解析式的縱坐標(biāo)之差表示線段長，進(jìn)而在取值范圍內(nèi)求最值即可；

（3）根據(jù)（2）中的直線解析式易知，由可知，則直線上下兩側(cè)產(chǎn)生和的角，再利用銳角三角函數(shù)求出線段長，然后通過線段長轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)即可．

解：（1）∵拋物線的解析式為，當(dāng)時，，

∴．

∵，

∴點(diǎn)，點(diǎn)．

設(shè)拋物線的解析式為，可得，

將點(diǎn)代入可得，

∴拋物線解析式為；

（2）存在最大值．

如解圖①，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴點(diǎn)．

當(dāng)時，，

∴點(diǎn)．

設(shè)直線BE的解析式為

將點(diǎn)、代入解析式中得，

，解得．

∴直線的解析式為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴

∴當(dāng)時，有最大值，最大值為；

（3）分兩種情況：①如解圖①，當(dāng)直線在直線的上方時，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴．

在直線中，當(dāng)時，，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②如解圖②，當(dāng)直線在的下方時，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．