Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為12cm，點(diǎn)P、Q分別是邊BC、CA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為3cm/s．

（1）如圖1，連接PQ，求經(jīng)過多少秒后，△PCQ是直角三角形；

（2）如圖2，連接AP、BQ交于點(diǎn)M，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AMQ的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過秒或秒，△PCQ是直角三角形（2）∠AMQ的大小不變

【解析】

（1）分兩種情形分別求解即可解決問題；

（2）由△AB≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，可得∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°即可．

（1）設(shè)經(jīng)過t秒后，△PCQ是直角三角形．

由題意：PC＝（12﹣3t）cm，CQ＝3t，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C＝60°，

當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，

∴12﹣3t＝6t，

解得t＝；

當(dāng)∠QPC＝90°時(shí)，∠PQC＝30°，

∴CQ＝2PC，

∴3t＝2（12﹣3t），

解得t＝，

∴經(jīng)過秒或秒，△PCQ是直角三角形；

（2）結(jié)論：∠AMQ的大小不變．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，

∵點(diǎn)P，Q的速度相等，

∴BP＝CQ，

在△ABP和△BCQ中，

，

∴△AB≌△BCQ（SAS），

∴∠BAP＝∠CBQ，

∴∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°．