Question

已知拋物線y=-

1

2

x2+bx+4上有不同的兩點(diǎn)E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線y=-

1

2

x2+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)m，n為何值時，∠PMQ的邊過點(diǎn)F？

Answer 1

分析：（1）求拋物線的解析式關(guān)鍵是求出b的值，根據(jù)E、F的坐標(biāo)可發(fā)現(xiàn)，E、F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由此可求出拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而可求出b的值及拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出A、B的坐標(biāo)，可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°，可證△BCM∽△AMD，根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出m、n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可由待定系數(shù)法求出直線MF的解析式，然后根據(jù)直線MF與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求出m、n的值．（需注意的是此題要分MP、MQ過F的兩種不同情況分類討論）

解答：解：（1）拋物線y=-

1

2

x2+bx+4的對稱軸為x=-

b

2×(- 1 2 )

=b；（1分）
∵拋物線上不同兩個點(diǎn)E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2；
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4；（2分）


（2）拋物線y=-

1

2

x2+x+4與x軸的交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

；（3分）
在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴

BC

AM

=

BM

AD

，即

n

2 2

=

2 2

m

，n=

8

m

；
故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為n=

8

m

（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴將F代入函數(shù)解析式得：-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化簡得，k²-4k+3=0，∴k₁=1，k₂=3；
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）；（6分）
①M(fèi)F過M（2，2）和F₁（-2，0），設(shè)MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -2k+b=0

，解得

k= 1 2 b=1

；
∴直線MF的解析式為y=

1

2

x+1；
直線MF與x軸交點(diǎn)為（-2，0），與y軸交點(diǎn)為（0，1）；
若MP過點(diǎn)F（-2，0），則n₁=4-1=3，m₁=

8

3

；
若MQ過點(diǎn)F（-2，0），則m₂=4-（-2）=6，n₂=

4

3

；（7分）
②MF過M（2，2）和F₂（-4，-8），設(shè)MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -4k+b=-8

，解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直線MF的解析式為y=

5

3

x-

4

3

；
直線MF與x軸交點(diǎn)為（

4

5

，0），與y軸交點(diǎn)為（0，-

4

3

）；
若MP過點(diǎn)F（-4，-8），則n₃=4-（-

4

3

）=

16

3

，m₃=

3

2

；
若MQ過點(diǎn)F（-4，-8），則m₄=4-

4

5

=

16

5

，n₄=

5

2

；（8分）
故當(dāng)

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

或

m4= 16 5 n4= 5 2

時，∠PMQ的邊過點(diǎn)F．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識，需注意的是（3）題中，MP、MQ都有可能經(jīng)過F點(diǎn)，要分類討論，以免漏解．