Question

【題目】探究問題：

⑴方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵∠EAF=45°

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_________．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法遷移：

如圖②，將沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

⑶問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC,BC上的點，滿足,試猜想當∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）

．

Answer 1

【答案】⑴EAF、△EAF、GF；⑵DE+BF=EF；⑶當∠B與∠D互補時，可使得DE+BF=EF．

【解析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)填空；（2）假設(shè)∠BAD的度數(shù)為，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,結(jié)合正方形性質(zhì)可得DE+BF=EF. ⑶根據(jù)題意可得，當∠B與∠D互補時，可使得DE+BF=EF．

⑴EAF、△EAF、GF．

⑵DE+BF=EF，理由如下：

假設(shè)∠BAD的度數(shù)為，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵∠EAF=

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=．

即∠GAF=∠EAF

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌△EAF．

∴GF=EF，

又∵GF=BG+BF=DE+BF

∴DE+BF=EF．

⑶當∠B與∠D互補時，可使得DE+BF=EF．