Question

【題目】如圖，已知A（﹣4，0），B（0，4），現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9：4，將OB向右側(cè)放大，B點的對應(yīng)點為C．

（1）求C點坐標及直線BC的解析式；

（2）一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象；

（3）現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P．

Answer 1

【答案】（1）過C點向x軸作垂線，垂足為D，

由位似圖形性質(zhì)可知：△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知： ．

∴．∴C點坐標為．

設(shè)直線BC的解析式為： y=kx+4，將（5,9）代入得

5k+4=9，解得k=1.

所以y=x+4.

（2）因為拋物線頂點在x軸正半軸，所以設(shè)頂點坐標為（h，0），則設(shè)拋物線解析式為

y=a（x－h(huán)）2.

將（0,4），（5,9）代入函數(shù)解析式得.解得或者.

∴解得拋物線解析式為或．

又∵的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．

∴滿足條件的拋物線解析式為

（準確畫出函數(shù)圖象）

（3） 將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P，設(shè)P到 直線AB的距離為h，

故P點應(yīng)在與直線AB平行，且相距的上下兩條平行直線和上．

由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為．

如圖，設(shè)與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，

在Rt△BEF中，，

∴．∴可以求得直線與y軸交點坐標為同理可求得直線與y軸交點坐標為

∴兩直線解析式；．

根據(jù)題意列出方程組： ⑴；⑵

∴解得：；；；

∴滿足條件的點P有四個，它們分別是，，，

【解析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)及相似比，可得OD，OC的長度，進而得到C點的坐標．利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式.

（2）頂點落在x軸正半軸上，所以拋物線設(shè)出頂點式，然后把B，C兩點代入求得二次函數(shù)解析式，最后將不符合條件的舍去．

（3）到直線AB的距離為的直線有兩條.根據(jù)直線AB的解析式可求得其與y軸的夾角為45°，從而得到Rt△EPB為等腰直角三角形，得到斜邊BE=6.從而得到直線和的解析式.兩直線的解析式分別于二次函數(shù)解析式組成方程組，就可以求得點P的坐標．