Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）.以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E.

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？

（3）在動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值.

（

Answer 1

解：（1）A（1，4）.

由題意知，可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1) ²+4

因拋物線過點(diǎn)C（3，0），

∴0=a（3-1）²+4

∴a=-1

所以拋物線的解析式為y=-(x-1) 2+4，

即y=-x²+2x+3.

（2）∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直線AC的解析式為y=-2x+6.

點(diǎn)P（1，4-t）.

將y=4-t代入y=-2x+6中，解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=1+.

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1+t/2，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4-t²/4.

∴GE=（4-）-（4-t）=t-.

又點(diǎn)A到GE的距離為t/2，C到GE的距離為2-t/2，

即S_△ACG=S_△AEG+S_△CEG=1/2·EG·t/2+1/2·EG（2-t/2）

=·2（t-）=-（t-2）²+1.………………………………………7分

當(dāng)t=2時(shí)，S_△ACG的最大值為1.………………………………………………………8分

（3）t=或t=20-8.………………………………………………12分