Question

（2013•花都區(qū)一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EBC=∠D=60°．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）當BC=6時，求劣弧BC的長．

Answer 1

分析：（1）由同弧所對的圓周角相等得到∠A=∠D，由∠D度數求出∠A度數，再由AB為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，進而求出∠ABC的度數，由∠EBC+∠ABC為90度，確定出EB垂直于AB，即可得證；
（2）連接OC，利用等邊對等角得到一對角相等，確定出∠BOC的度數，再直角三角形ABC中，利用銳角三角形函數定義，根據BC求出AB，進而求出圓的半徑，利用弧長公式即可求出劣弧BC的長．

解答：（1）證明：∵∠A與∠D都對

BC

，
∴∠A=∠D，
∵∠EBC=∠D=60°，
∴∠A=60°，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠EBC+∠ABC=90°，
則BE為圓O的切線；

（2）解：連接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
在Rt△ABC中，BC=6，∠ABC=30°，
∴AB=

BC

cos∠ABC

=4

3

，即圓的半徑為2

3

，
則劣弧BC的長為

120π×2 3

180

=

4 3

3

π．

點評：此題考查了切線的判定，弧長公式，圓周角定理，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．