Question

已知：如圖所示，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A 關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，PB分別與線段CF、AF相交于P、M。
（1）求證：AB=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

Answer 1

證明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，
∴E為AD中點(diǎn)，
∵BC⊥AD，
∴BC為AD的中垂線，
∴AC=CD，
在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴ACE=∠ABE，∴AC=AB，∴AB=CD；
（2）結(jié)論：∠F=∠MCD，
理由：∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC= ∠CAD，
∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM
∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE，∴AM為BC的中垂線，∴CM=BM，
∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB（等腰三角形三線合一），∴∠CME=∠BME，
∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCF=∠F（三角形內(nèi)角和定理）。