Question

已知，如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，OC，以下四個結(jié)論：
①AD=BE；②三角形CPQ是等邊三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE
其中正確的結(jié)論有

 

（把你認(rèn)為正確的序號都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BE，所以①正確；對應(yīng)角相等可得∠CAD=∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，所以②正確；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以找出相等的角，求出∠BOA=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BPO不是90°，即可判斷③；根據(jù)三角形面積公式求出CN=CM，根據(jù)角平分線性質(zhì)即可判斷④．

解答：解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小題正確；
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已證），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中，

∠CAD=∠CBE AC=BC ∠ACB=∠BCQ=60°

，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∵∠PCQ=180°-60°-60°=60°，
∴△PCQ是等邊三角形，故②小題正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAC+∠CEB=∠DAC+∠ADC=∠DCE=60°，
∵○CBE+∠CEB=∠ACB=60°，而BC≠CE，
∴∠CPB≠30°，
∴∠BPD≠90°，
∴③錯誤；
過C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△BCE≌△ACD，
∴S_△BCE=S_△ACD，BE=AD，
∴

1

2

×BE×CM=

1

2

×AD×CN，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，平行線的判定的應(yīng)用，需要多次證明三角形全等，仔細(xì)分析圖形是解此題的關(guān)鍵．