Question

如圖，在△ABC中，O是內心，點E，F(xiàn)都在大邊BC上，已知BF=BA，CE=CA．
（1）求證：O是△AEF的外心；
（2）若∠B=40°，∠C=30°，求∠EOF的大�。�

Answer 1

解：（1）證明：連接OA、OB、OC、OE、OF，
∵O是△ABC的內心，
∴∠OBA=∠FBO，
∵AB=BF，BBO=OB，
∴△ABO≌△FBO，
∴OA=OF，
同理OA=OE，
∴OA=OE=OF，
∴O是△ABC的外心．

（2）∵O是△ABC的外心，
∴∠EOF=2∠EAF，
在等腰三角形BO⊥AF，
∴∠AFE=90°-∠B，
同理∠AEF=90°-∠C，
∴∠EOF=2∠EAF=2（180°-∠AEF-∠AFE），
=[180°-（90°-∠C）-（90°-∠B）=2（∠B+∠C）=70°，
答：∠EOF的度數(shù)是70°．
分析：（1）連接OA、OB、OC、OE、OF，證△ABO≌△FBO，推出OA=OF，OA=OF即可；
（2）根據(jù)三角形的內角和定理求出∠AFE=90°-∠B，∠AEF=90°-∠C，再根據(jù)三角形的內角和定理求出即可．
點評：本題主要考查對三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．