【題目】如圖,對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),C(0,5)兩點,與x軸另一交點為B.已知M(0,1),E(a,0),F(xiàn)(a+1,0),點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當a=1時,求四邊形MEFP的面積的最大值,并求此時點P的坐標;
(3)若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形,求a為何值時,四邊形PMEF周長最。空堈f明理由.
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5;
(2)當x=時,四邊形MEFP的面積有最大值為,點P坐標為(,);
(3)a=時,四邊形PMEF周長最小,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)首先求出四邊形MEFP面積的表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點P坐標;
(3)四邊形PMEF的四條邊中,PM、EF長度固定,因此只要ME+PF最小,則PMEF的周長將取得最小值.如答圖3所示,將點M向右平移1個單位長度(EF的長度),得M1(1,1);作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2,則M2(1,﹣1);連接PM2,與x軸交于F點,此時ME+PF=PM2最小.
試題解析:方法一:
試題解析:(1)∵對稱軸為直線x=2,
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+k.
將A(﹣1,0),C(0,5)代入得:,解得,
∴y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5.
(2)當a=1時,E(1,0),F(xiàn)(2,0),OE=1,OF=2.
設(shè)P(x,﹣x2+4x+5),
如答圖2,過點P作PN⊥y軸于點N,則PN=x,ON=﹣x2+4x+5,
∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4.
S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME
=(PN+OF)ON﹣PNMN﹣OMOE
=(x+2)(﹣x2+4x+5)﹣x(﹣x2+4x+4)﹣×1×1
=﹣x2+x+
=﹣(x﹣)2+
∴當x=時,四邊形MEFP的面積有最大值為,
把x=時,y=﹣(﹣2)2+9=.
此時點P坐標為(,).
(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以點P為頂點的等腰三角形,
∴點P的縱坐標為3.
令y=﹣x2+4x+5=3,解得x=2±.
∵點P在第一象限,∴P(2+,3).
四邊形PMEF的四條邊中,PM、EF長度固定,因此只要ME+PF最小,則PMEF的周長將取得最小值.
如答圖3,將點M向右平移1個單位長度(EF的長度),得M1(1,1);
作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2,則M2(1,﹣1);
連接PM2,與x軸交于F點,此時ME+PF=PM2最小.
設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n,將P(2+,3),M2(1,﹣1)代入得:
,解得:m=,n=﹣,
∴y=x﹣.
當y=0時,解得x=.∴F(,0).
∵a+1=,∴a=.
∴a=時,四邊形PMEF周長最小.
方法二:
(1)略.
(2)連接MF,過點P作x軸垂線,交MF于點H,
顯然當S△PMF有最大值時,四邊形MEFP面積最大.
當a=1時,E(1,0),F(xiàn)(2,0),
∵M(0,1),
∴lMF:y=﹣x+1,
設(shè)P(t,﹣t2+4t+5),H(t,﹣ t+1),
∴S△PMF=(PY﹣HY)(FX﹣MX),
∴S△PMF=(﹣t2+4t+5+t﹣1)(2﹣0)=﹣t2+t+4,
∴當t=時,S△PMF最大值為,
∵S△MEF=EF×MY=×1×1=,
∴S四邊形MEFP的最大值為+=.
(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以點P為頂點的等腰三角形,
∴點P的縱坐標為3,∴﹣x2+4x+5=0,解得:x=2±,
∵點P在第一象限,∴P(2+,3),PM、EF長度固定,
當ME+PF最小時,PMEF的周長取得最小值,
將點M向右平移1個單位長度(EF的長度),得M1(1,1),
∵四邊形MEFM1為平行四邊形,
∴ME=M1F,
作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2,則M2(1,﹣1),
∴M2F=M1F=ME,
當且僅當P,F(xiàn),M2三點共線時,此時ME+PF=PM2最小,
∵P(2+,3),M2(1,﹣1),F(xiàn)(a+1,0),
∴KPF=KM1F,∴,∴a=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 下列事件中,屬于必然事件的是( 。
A. “世界杯新秀”姆巴佩發(fā)點球 100%進球
B. 任意購買一張車票,座位剛好挨著窗口
C. 三角形內(nèi)角和為 180°
D. 敘利亞不會發(fā)生戰(zhàn)爭
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為10 cm,點E,F(xiàn),G,H分別從點A,B,C,D出發(fā),以2 cm/s的速度同時分別向點B,C,D,A運動.
(1)在運動的過程中,四邊形EFGH是何種四邊形?請說明理由.
(2)運動多少秒后,四邊形EFGH的面積為52cm2?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA,AB于點C和點D,且△BOD的面積S△BOD=4.
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求點C的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的是( )
A. 一個正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù) B. 一個數(shù)的立方根一定比這個數(shù)小
C. 一個非零的數(shù)的立方根任然是一個非零的數(shù) D. 負數(shù)沒有平方根,但有立方根
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