Question

15．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求線段PQ的長度；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積等于5cm²？
（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，在某一時(shí)刻，若將△PQC翻折，得到△EPQ，如圖2，PE與AB能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=2時(shí)，可求出CP，CQ的長，根據(jù)勾股定理即可求出線段即斜邊PQ的長；
（2）由三角形面積公式可建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可；
（3）延長QE交AC于點(diǎn)D，若PE⊥AB，則QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出DE=0.5t，易證△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{DE}{AC}=\frac{PE}{BC}$，把已知數(shù)據(jù)代入即可求出t的值．

解答 解：
（1）當(dāng)t=2時(shí)，
∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，
∴AP=2厘米，QC=4厘米，
∴PC=4，在Rt△PQC中PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+Q{C}^{2}}$=$4\sqrt{2}$厘米；
（2）∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，
∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，
∴S△CPQ=$\frac{1}{2}$CP•CQ=$\frac{{（{6-t}）•2t}}{2}=5$，
∴t²-6t+5=0
解得t₁=1，t₂=5（不合題意，舍去）
∴當(dāng)t=1秒時(shí)，△PCQ的面積等于5cm²；
（3）能垂直，理由如下：
延長QE交AC于點(diǎn)D，
∵將△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，則QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴$\frac{CQ}{BC}=\frac{QD}{AB}$，
∴$\frac{2t}{8}=\frac{QD}{10}$，
∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
易證△ABC∽△DPE，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{PE}{BC}$
∴$\frac{0.5t}{6}=\frac{6-t}{8}$，
解得：t=$\frac{18}{5}$（0≤t≤4），
綜上可知：當(dāng)t=$\frac{18}{5}$時(shí)，PE⊥AB．

點(diǎn)評 此題考查了勾股定理、三角形的面積公式、相似三角形的判定性質(zhì)與判定等知識以及折疊的性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，比較難，內(nèi)容比較多，也是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，對于學(xué)生的能力要求比較高，是一道不錯(cuò)的中考題．