【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC的角平分線AD交BC于E,交△ABC的外接圓⊙O于D.
(1)求證:△ABE∽△ADC;
(2)請連接BD,OB,OC,OD,且OD交BC于點F,若點F恰好是OD的中點.求證:四邊形OBDC是菱形.
【答案】
(1)證明:∵∠BAC的角平分線AD,
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠ABC=∠ADC,
∴△ABE∽△ADC
(2)證明:∵∠BAD=∠CAD,
∴ ,
∵OD為半徑,
∴DO⊥BC(垂徑定理),
∵F為OD的中點,
∴OB=BD,OC=CD,
∵OB=OC,
∴OB=BD=CD=OC,
∴四邊形OBDC是菱形.
【解析】(1)根據(jù)圓周角定理求出∠B=∠D,根據(jù)相似三角形的判定推出即可;(2)根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC,根據(jù)線段垂直平分線性質得出OB=BD,OC=CD,根據(jù)菱形的判定推出即可.
【考點精析】掌握菱形的判定方法和圓周角定理是解答本題的根本,需要知道任意一個四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對角線若垂直,順理成章為菱形;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【問題情境】
在△ABC中,AB=AC,點P為BC所在直線上的任一點,過點P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為D、E,過點C作CF⊥AB,垂足為F.當P在BC邊上時(如圖1),求證:PD+PE=CF.
圖① 圖② 圖③
證明思路是:如圖2,連接AP,由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得:PD+PE=CF.(不要證明)
【變式探究】
當點P在CB延長線上時,其余條件不變(如圖3).試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關系并說明理由.
請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題:
【結論運用】
如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊,使點D落在點B上,點C落在點C′處,點P為折痕EF上的任一點,過點P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;
【遷移拓展】
在直角坐標系中.直線l1:y=與直線l2:y=2x+4相交于點A,直線l1、l2與x軸分別交于點B、點C.點P是直線l2上一個動點,若點P到直線l1的距離為1.求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列結論:w
①若a+b+c=0,且abc≠0,則方程a+bx+c=0的解是x=1;
②若a(x﹣1)=b(x﹣1)有唯一的解,則a≠b;
③若b=2a,則關于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣;
④若a+b+c=1,且a≠0,則x=1一定是方程ax+b+c=1的解;
其中結論正確個數(shù)有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,邊長為10,∠A=60°,順次連接菱形ABCD各邊中點,可得四邊形A1B1C1D1;順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點,可得四邊形A2B2C2D2;順次連結四邊形A2B2C2D2各邊中點,可得四邊形A3B3C3D3;按此規(guī)律繼續(xù)下去….則四邊形A2B2C2D2的周長是 ;四邊形A2015B2015C2015D2015的周長 .
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【題目】有4張寫著以下數(shù)字的卡片,請按要求抽出卡片,完成下列各題:
(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字之積最大,最大值是________.
(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字之差最小,最小值是________.
(3)從中取出4張卡片,將這4個數(shù)字進行加、減、乘、除或乘方等混合運算,使結果為24,請寫出一種符合要求的運算式子________.(注:4個數(shù)字都必須用到且只能用一次.)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為a,點B對應的數(shù)為b,且|a+4|+(b﹣1)2=0,A、B之間的距離記作|AB|,定義:|AB|=|a﹣b|.
(1)求線段AB的長|AB|;
(2)設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)為x,當|PA|﹣|PB|=2時,求x的值;
(3)若點P在A的左側,M、N分別是PA、PB的中點,當P在A的左側移動時,下列兩個結論:
①|PM|+|PN|的值不變;②|PN|﹣|PM|的值不變,其中只有一個結論正確,請判斷出正確結論,并求其值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)y=與函數(shù)y=在第一象限內的圖象,點P是y=的圖象上一動點,PA⊥x軸于點A,交y=的圖象于點C,PB⊥y軸于點B,交y=的圖象于點D.
(1)求證:D是BP的中點;
(2)求四邊形ODPC的面積.
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