Question

設a＞0，b＞0，c＞0，且滿足a²=b（b+c），b²=c（c+a），求證：

1

a

+

1

b

=

1

c

Answer 1

分析：先把已知的兩個等式相加，化簡可得a²-c²=bc+ac③，再把已知的兩個式子相乘，得到④，然后把③代入④右邊的括號內，化簡可得⑤，再在⑤的兩邊同除以a²b²c，即可得證．

解答：證明：∵a²=b（b+c）①，b²=c（c+a）②，
那么①+②得
a²-c²=bc+ac③，
①×②得
a²b²=bc（b+c）（c+a），
即a²b²=bc（bc+ab+c²+ac）④，
把③代入④得
a²b²=bc（a²-c²+ab+c²）
∴a²b²=bc（a²+ab）⑤
又∵a＞0，b＞0，c＞0，
⑤兩邊同除以a²b²c得

1

c

=

1

b

+

1

a

，
即

1

a

+

1

b

=

1

c

．

點評：本題考查的是分式的等式證明．注意靈活運用運算方法和整體代入的思想．