Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD=HF；

（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；（2）連結(jié)DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF；（3）由（2）中CD=HF，即可求出HF的值，先求OA和OF的長度，再由AF＝OA-OF求出AF的值；

試題解析：

（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；

（2）連結(jié)DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF

證明：（1）如圖，連接OE．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）如圖，連結(jié)DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE與△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF．

（3）由（2）得，CD=HF．又CD=1

∴HF＝1

在Rt△HFE中，EF=＝

∵EF⊥BE

∴∠BEF=90°

∴∠EHF=∠BEF=90°

∵∠EFH=∠BFE

∴△EHF∽△BEF

∴，即

∴BF=10

∴, ,

∴在Rt△OHE中， ,

∴在Rt△EOA中， ,

∴

∴

∴.