Question

【題目】如圖，已知矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝，點(diǎn) M 在 AC 上，且 AM＝AC，連接并延長(zhǎng) BM 交 AD 于點(diǎn) N．

（1）求證：△ABC∽△AMB；

（2）求 MN 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MN=.

【解析】

（1）在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出AM的長(zhǎng)度，由AB、AM、AC的長(zhǎng)度可得出=，結(jié)合∠BAM=∠CAB即可證出△ABC∽△AMB；
（2）由△ABC∽△AMB可得出∠BMA=90°=∠BAN，利用勾股定理可求出BM的長(zhǎng)度，結(jié)合∠ABM=∠NBA可證出△ABM∽△NBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出MN的長(zhǎng)度．

（1）在 Rt△ABC 中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝2．

∵AM＝ AC，

∴AM＝ ，

∴＝＝ ．

又∵∠BAM＝∠CAB，

∴△ABC∽△AMB．

（2）解：∵△ABC∽△AMB，

∴∠BMA＝∠CBA＝90°＝∠BAN，

∴BM＝＝．

又∵∠ABM＝∠NBA，

∴△ABM∽△NBA，

∴＝，即 = ， 解得：MN＝．