Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）解：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

，解得 ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3．

設(shè)P（x，﹣x+3），則M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∴S△BCM=S△PMC+S△PMB= PM（xP﹣xC）+ PM（xB﹣xP）= PM（xB﹣xC）= PM．

∴S△BCM= （﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴當(dāng)x= 時(shí)，△BCM的面積最大．

此時(shí)P（ ， ），∴PN=ON= ，

∴BN=OB﹣ON=3﹣ = ．

在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB= ．

C△BCN=BN+PN+PB=3+ ．

∴當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，△BPN的周長(zhǎng)為3+

（3）解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．

在Rt△CNO中，OC=3，ON= ，由勾股定理得：CN= ．

設(shè)點(diǎn)D為CN中點(diǎn)，則D（ ， ），CD=ND= ．

如解答圖，△CNQ為直角三角形，

①若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)．

作Rt△CNO的外接圓⊙D，與對(duì)稱軸交于Q1、Q2兩點(diǎn)，由圓周角定理可知，Q1、Q2兩點(diǎn)符合題意．

連接Q1D，則Q1D=CD=ND= ．

過(guò)點(diǎn)D（ ， ）作對(duì)稱軸的垂線，垂足為E，

則E（1， ），Q1E=Q2E，DE=1﹣ = ．

在Rt△Q1DE中，由勾股定理得：

Q1E= = ．

∴Q1（1， ），Q2（1， ）；

②若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)．

過(guò)點(diǎn)N作NF⊥CN，交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q3，交y軸于點(diǎn)F．

易證Rt△NFO∽R(shí)t△CNO，則 = ，即 ，解得OF= ．

∴F（0，﹣ ），又∵N（ ，0），

∴可求得直線FN的解析式為：y= x﹣ ．

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣ ，

∴Q3（1，﹣ ）；

③當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)．

過(guò)點(diǎn)C作Q4C⊥CN，交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q4．

∵Q4C∥FN，∴可設(shè)直線Q4C的解析式為：y= x+b，

∵點(diǎn)C（0，3）在該直線上，∴b=3．

∴直線Q4C的解析式為：y= x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y= ，

∴Q4（1， ）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)，

其坐標(biāo)分別為：Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，﹣ ），Q4（1， ）．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式由x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由y=0,求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。
（2）先求出直線BC的函數(shù)解析式，抓住PM∥y軸，設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)（點(diǎn)P、M的橫坐標(biāo)相同），就可以求出S△BCM與x的函數(shù)解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出PN、BP、BN的長(zhǎng)，即可求出△BPN的周長(zhǎng)。
（3）在Rt△CON中，利用勾股定理可求出CN的長(zhǎng)，再求出CN的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分類討論：①若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)．②若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)．③當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)．運(yùn)用勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、一次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。