Question

【題目】在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CFF=45°

(1) 將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °，得到△ABG（如圖1），求證：BE+DF=EF；

(2) 若直線EF與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M、N（如圖2），求證：

(3) 將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其余條件不變（如圖3），直接寫出線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) =2.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可證△AEG≌△AEF；

（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后證明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；

（3）延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，結(jié)合勾股定理以及相等線段可得（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，所以2（DF2+BE2）=EF2．

（1）證明：∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，

∴AF=AG，∠FAG=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠GAE=45°，

在△AGE與△AFE中，

，

∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a．

將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．

則△ADF≌△ABG，DF=BG．

由（1）知△AEG≌△AEF，

∴EG=EF．

∵∠CEF=45°，

∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，

∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，

∴a-BE=a-DF，

∴BE=DF，

∴BE=BM=DF=BG，

∴∠BMG=45°，

∴∠GME=45°+45°=90°，

∴EG2=ME2+MG2，

∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，

∴EF2=ME2+NF2；

（3）解：EF2=2BE2+2DF2．

如圖所示，延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，

將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．

由（1）知△AEH≌△AEF，

則由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，

即（GH+BE）2+（BM-GM）2=EH2

又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，

即2（DF2+BE2）=EF2