Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm, BC＝12cm.點(diǎn)P從點(diǎn)C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/s向C點(diǎn)勻速移動(dòng)，若一個(gè)點(diǎn)到達(dá)目的停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；

（1）用含有t的代數(shù)式表示BQ、CP的長(zhǎng)；

（2）寫出t的取值范圍；

(3)用含有t的代數(shù)式 表示Rt△PCQ和四邊形APQB的面積；

(4)當(dāng)P、Q處在什么位置時(shí)，四邊形PQBA的面積最小，并求這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】（1）CP=t，BQ=2t；(2) 0≤t≤4；(3) Rt△PCQ的面積為=t(6t)， 四邊形APQB的面積=24t(6t)； (4)CP=3cm,BQ=6cm時(shí)面積最小,最小為15cm2.

【解析】試題分析：（1）有時(shí)間和速度，根據(jù)路程=時(shí)間×速度，即可得；

（2）根據(jù)題意2AC＜BC，找到P點(diǎn)到達(dá)A的時(shí)間極為t的最大值，即可得出答案．

（3）由∠C=90°，根據(jù)直角三角形的面積求法，可以直接的出Rt△PCQ的面積，有Rt△ABC的面積，兩者之差即可得出答案．

（4）根據(jù)（3）中的表達(dá)式，求其最小值即可．

試題解析：（1）CP=t，BQ=2t，

(2)∵點(diǎn)P從點(diǎn)C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/s向C點(diǎn)勻速移動(dòng)，

∴Q的速度是P的兩倍，

∵2AC<BC，

∴可知P先到達(dá)A點(diǎn)，

且t=4.

∵若一個(gè)點(diǎn)到達(dá)目的停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，

∴t的取值范圍是：0≤t≤4；

(3)由(1)得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，

∴CQ=122t，

∴Rt△PCQ的面積為12×CQ×CP=12×(122t)×t=t(6t)，

∵Rt△ABC的面積為12×AC×BC=12×4×12=24，

∴四邊形APQB的面積=Rt△ABC的面積Rt△PCQ的面積=24t(6t)；

(4)由(3)得四邊形APQB的面積為24t(6t)，

變形為t26t+24=(t3)2+15，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t=3時(shí)，取得最小值，解為15.

即CP=3cm,BQ=6cm時(shí)面積最小,最小為15cm2.