Question

已知拋物線C₁的函數(shù)解析式為y＝ax²＋bx－3a（b＜0），若拋物線C₁經(jīng)過點（0，－3），方程ax²＋bx－3a＝0的兩根為x₁，x₂，且|x₁－x₂|＝4.

⑴求拋物線C₁的頂點坐標. 新 課 標 第 一 網(wǎng)

⑵已知實數(shù)x＞0，請證明x＋≥2，并說明x為何值時才會有x＋＝2.

⑶若將拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C₂，設A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的兩個不同點，且滿足：∠AOB＝90︒，m＞0，n＜0.請你用含m的表達式表示出△AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式.

（參考公式：在平面直角坐標系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點間的距離為）

Answer 1

解：（1）∵拋物線過（０,－３）點，∴－3a＝－３

　　　　　∴a＝１　……………………………………１分

　　　　　∴ｙ＝x²＋bx－３

　　　　　∵x²＋bx－３=０的兩根為x₁,x₂且＝４

∴＝４且b＜０

∴b＝－２　   　　　　　　　　　　　

∴ｙ＝x²－２x－３＝（x－１）^２－４

∴拋物線Ｃ_１的頂點坐標為（１，－４）　　　

（2）∵x＞０，∴

∴顯然當x＝１時，才有　　　

（3）由平移知識易得Ｃ_２的解析式為：y＝x²　　

∴Ａ(m，m^２)，B（n，n^２）

∵ΔAOB為RtΔ

∴OA^２+OB^２=AB^２

∴m^２＋m^４＋n^２＋n^４＝（m－n）^２＋（m^２－n^２）^２

化簡得：m n＝－１　　　　

∵Ｓ_ΔAOB==

　  ∵m n＝－１

∴Ｓ_ΔAOB=

　　　�。�

∴Ｓ_ΔAOB的最小值為１，此時m＝１,Ａ(１,１) 　

∴直線OA的一次函數(shù)解析式為ｙ＝x